群论

群论是关于对称性的研究

• 循环群描述的是仅有旋转对称的物体
• 阿贝尔群：任意两个元素都可交换（ab=ba）
• 二面体群描述的是同时具有旋转对称和轴对称的物体。描述正n边形对称的二面体群记作
• 置换群：给定集合的所有置换组成的群叫做对称群，恰好选取中一半元素构造的群叫做交错群

凯莱定理（Cayley）：每个群都同构于一个置换群

• H<G（H是G的子群）：一个群H完全包含在另一个群G中
• 陪集：从结构上是一个子群的副本，但本身不是群（不含单位元）
• H⊲G（H是G的正规子群）：子群H<G的每个左陪集都是H的一个右陪集。即每个元素g∊G都满足gH=Hg时，子群H是正规的。
• 仅当H⊲G时，才有商群G/H。即当H正规时，H陪集才能折叠成单个元素。
• 共轭：是H关于g的共轭，共轭子群是同构的

拉格朗日定理：如果H<G，子群H的阶整除群G的阶

同态基本定理：如果是一个同态，那么 其中表示将G映射到H；表示同态的像，映射到陪域H的元素集合；表示同构于；表示同态的核，映射到陪域H单位元的元素集合。 一定是正规的，把陪集折叠成单个元素，与具有相同的结构。

当且仅当n和m互素。其中互素指m和n的最小公倍数就是它们的乘积mn。

阿贝尔群基本定理：每个有限阿贝尔群A都同构于循环群的直积。即存在整数，使得。

柯西定理：如果p是一个整除|G|的素数，那么G有一个p阶子群。

第一西罗定理：如果G是一个群，是整除|G|的p的最高次方幂，那么存在阶的p-子群。另外，每个阶小于的p-子群都在一个更高阶p-子群的内部。其中p-子群指阶为素数p的方幂的子群。 第二西罗定理：任意两个西罗p-子群共轭。西罗p-子群指阶为素数p的最高次方幂的子群。 第三西罗定理：G的西罗p-子群的个数为n，则 n是|G|的因子且

参考：

• 《群论彩图版》